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Plus simplement, un plan mené par / et tournant autour de 
eette droite, marque sur les plans (3, y deux faisceaux projectifs 
qui ont pour centres les points de rencontre B lf C 4 de la droite / 
avec (3 et y. Les plans menés par deux rayons homologues de ces 
faisceaux et respectivement par les droites C^B, B t C se coupent 
suivant une droite h dont tous les points appartiennent au 
lieu (A); or ces plans engendrent deux faisceaux projectifs. 
2. Considérons maintenant un triangle variable ABC, dont 
deux côtés AB, AC tournent autour de deux points flxes C, B'; 
dont les sommets B, C se meuvent dans deux plans donnés (3, y 
et dont le troisième côté BC doit s'appuyer sur deux droites 
données /, l l (et sur la droite BC == / 2 ). 
D'après ce qui précède, si BC doit s'appuyer seulement sur / 
(et sur / 2 ), le point A décrit une quadrique; si BC s'appuie sur 
h ( et l%)y I e P 0 ' n * A décrit une seconde quadrique. Ces qua- 
driques ayant une droite commune (3y, leur intersection est une 
cubique gauche passant par B', C et bisécante à la droite (3y. 
Donc : 
Si un triangle se déforme de telle manière que deux de ses 
côtés passent par deux points fixes, tandis que les sommets opposés 
décrivent deux plans donnés, le troisième côté s appuyant sur 
deux droites fixes, le troisième sommet décrira une cubique gauche 
passant par les points fixes et bisécante à. la droite commune aux 
deux plans donnés. 
Voici une démonstration directe de ce théorème. La droite BC 
qui doit s'appuyer sur /, / 4 , / 2 engendre un hyperboloïde qui 
rencontre les plans (3, y suivant deux coniques K^, K y . L'inter- 
section des cônes (C 7 , K^), (B', K y ) décrit le lieu cherché. Ces 
cônes ont la génératrice commune B'C; car si la droite B'C 
coupe (3 en B /; , y en C", on peut prendre pour BC la droite 
menée par B" et s'appuyant sur /, / 4 ; alors A se confondra avec 
B', etc. 
3. Soient A i9 A 5 cinq points et g une droite. Proposons- 
nous de construire la cubique gauche passant par ces cinq points 
et bisécante à la droite. 
