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sont donc des groupes de trois points tels que deux d'entre eux 
étant donnés, il leur correspond trois positions du troisième. On 
déduit de là que la droite d coupe la surface en neuf points. 
Remarquons maintenant que si g est un plan langent à l'hyper- 
boloïde (abc) = H, c'est-à-dire un plan rencontrant a, 6, c en 
trois points A A , B l5 C 4 , situés sur une même génératrice de H, 
il lui correspond trois plans a, (3, y se coupant suivant cette 
droite A^ qui fait donc partie de la surface lieu de M. Lorsque 
g roule sur le cône circonscrit à H de sommet S, la droite 
correspondante décrit cette surface H. La surface lieu de M se 
décompose donc en cet hyperboloïde et une surface du septième 
ordre S 7 . 
Il est utile de séparer nettement les deux parties du lieu. 
Considérons, à cet effet, un point M de H, et soit m la généra- 
trice qui passe par ce point en s'appuyant sur a, 6 et c. Pro- 
posons-nous de retrouver le plan g qui a donné naissance au 
point M. Nous rechercherons le plan (3 en supposant que les 
plans correspondants a et y passent par M. Soient B 4 un point 
quelconque de 6; () i le point d'intersection de c avec le plan 
unissant B 4 à la droite AM et A 4 , celui de a avec le plan unissant 
B t à la droite CM. Lorsque le point B 4 parcourt 6, les droites 
B l C l et B l \ i engendrent les deux surfaces du second ordre 
(c, A M, 6), (6, CM, a) auxquelles on peut mener par S quatre 
plans tangents communs. Le plan g cherché est nécessairement 
l'un de ces plans Le plan g = (Sm) convient; mais alors les 
plans homologues a, (3, y passent non seulement par M, mais 
contiennent la droite m. Il faut écarter le plan g = (S6), car si 
E et F, G et H sont les points d'intersection de ce plan avec c et 
AiM, CM et a, les droites EF et GH ne concourent pas en un 
point de 6. Enfin, il faut également rejeter les deux autres plans, 
qui, étant indépendants de B, déterminent des plans (3 ne passant 
pas par M. L'hyperboloïde (abc) est donc engendré par l'une de 
ses génératrices d'une seule façon. 
Nous ferons constamment usage, dans la suite, de la propo- 
sition suivante, dont la démonstration n'est qu'une application 
directe du principe de correspondance de Chasles : Soient a et 
