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b deux droites de l'espace, prises comme supports de deux ponc- 
tuelles (A), (B) entre les éléments desquelles existe une corres- 
pondance (m, n). Le lieu de la droite AB de jonction des points 
homologues est une surface d'ordre et de classe m -+- n. 
On peut observer que la démonstration que nous avons 
donnée de l'ordre de la surface ne s'applique pas à une droite d 
de l'hyperboloïde (a, b, c). Nous allons montrer, en modifiant 
légèrement le procédé employé, qu'une telle droite rencontre la 
surface S 7 en sept points. On sait qu'au plan <r = (Sd) corres- 
pond une droite de (abc) qui est l'une des deux génératrices 
de l'hyperboloïde situées dans le plan (Sd); nous écarterons ce 
plan des plans a que nous allons considérer. 
Désignons par A 7 , B' et C les points d'intersection de d avec 
trois plans correspondants a, (3 et y. Les points A' et B' étant 
supposés confondus en un point de d, cherchons combien il leur 
correspond de point C ; . Unissons par des plans a et (3 les droites 
AA' et BA' à un point C 4 de c; soient B i et A 4 les points d'inter- 
section de 6 avec a et de a avec (3. Le plan A 1 B 1 C i est un plan 
tangent commun aux deux hyperboloïdes (c, AA', 6), (c, BB\ a). 
Or on peut mener par S, indépendamment du plan (Sd), trois 
plans tangents communs à ces deux surfaces qui permettent de 
trouver trois points C. 
Inversement le point C étant fixé sur d, combien de fois les 
points A' et B' coïncideront-ils lorsque y décrit le faisceau 
d'axe CC? Cherchons la correspondance qui unit les points 
A' et B r . On voit facilement que BjCj décrit une surface de la 
troisième classe; le point A' étant pris arbitrairement sur d, il 
suffira de prendre pour a un des deux plans tangents qu'on 
peut mener à cette surface par AA', indépendamment du 
plan (Ad) qui a été écarté, ce qui fera connaître deux points B'. 
Les points A' et B r étant liés par une correspondance (2, 2) ont 
quatre coïncidences. Les points A' et B' confondus et le point C 
étant liés par une correspondance (4, 3), coïncideront 7 fois en 
des points qui appartiennent à la surface S 7 . 
Dans la suite nous désignerons par (HS) la surface complète 
du lieu; lorsque nous n'aurons en vue que la surface du sep- 
