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On obtiendra un point de la courbe dans le plan tu lorsque les 
plans correspondants 
a = (AB<C,), p==(BC|A 4 ) 
se couperont suivant une droite de tc. Or, lorsque cr décrit le 
faisceau d, les droites L^Q et QAj engendrent deux hyperbo- 
loïdes réglés (/;, c, d), (c, a, d), tandis que les plans a et (3 roulent 
sur des cônes circonscrits à ces surfaces. Le plan tc coupe ces 
cônes suivant deux coniques K a et K 2 tangentes à c. Comme 
elles possèdent trois autres tangentes communes, les iraces des 
plans a et [3 coïncideront, au plus, trois fois. Si Ton remarque 
que la trace du plan (3 homologue du plan a = (Ac) n'est pas 
tangente à K 4 et que semblablement celle du plan a correspon- 
dant au plan (3 = (Ac) n'est pas tangente à K 2 , on peut affirmer 
que le nombre de ces coïncidences est trois. On trouve donc 
dans le plan tt trois points de la courbe non situés sur c. 
Cette courbe C 4 rencontre une fois chacune des droites a, b, c 
et chacune des neuf coniques <DG, W, 2. Deux de ces courbes 
n'ont évidemment qu'un seul point commun. 
La démonstration précédente doit être légèrement modifiée 
lorsque l'axe d du faisceau rencontre Tune des droites a, 6, c, 
cette dernière, par exemple, en un point C 4 . Ce point appartient 
d'abord à la courbe correspondante, car il résulte du plan 
(j = (dC). Le plan singulier a = (Se) donne naissance à un point 
de la courbe, situé dans tc; c'est le point d'intersection de c 3 avec 
tc. Pour obtenir les autres, on observe que les traces, sur tc, des 
plans homologues a et [3 décrivent deux faisceaux projectifs de 
rayons ayant le point C 4 comme sommet commun ; les deux 
rayons doubles de ces faisceaux permettent d'obtenir deux points 
de la courbe situés dans tc. Comme on le voit, la courbe est 
encore du quatrième ordre, mais elle se décompose en la droite 
c~ et une cubique gauche. 
Examinons quelques positions particulières de l'axe du 
faisceau. 
Si l'on prend pour axe : 
La droite x : la courbe se décompose en la conique 2^ et les 
droites 6 2 , c 3 ; 
