( 14 ) 
Puis, en passant à la limite, 
1 cot a 
^ cos 1 v cos y 
ou 
cos v 
Isa = • 
Différentielle de l'arc. — La valeur de ds se déduit immé- 
diatement de celle de a. On a (fig. 5) 
et à la limite, 
d'où 
sin A.s cos (y -f- Ai/) 
sin Ax sin a, 
ds cos t/ 
rfx sin a ' 
= l/cos 2 y h- ?/'*. (1 5) 
Application. — Longueur de l'arc de la courhe sphérique 
ayant pour équation 
e * e -« 
y = arc sin 
e" e~ x 
C'est une spirale sphérique (fig. 6) partant de l'origine, mon- 
tant sur la sphère tout en tournant autour du pôle, dont elle 
s'approche rapidement (*), mais qu'elle n'atteint qu'à l'infini. 
On a 
y' = = cos t/ ; 
on en déduit 
tga = l, 
(*) La figure n'est que schématique : la courbe s'approche bien plus rapi- 
dement du pôle, comme l'indiquent les latitudes des points A, B, C, D 
inscrites plus loin. 
