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La droite Aj Bj Cj a donc pour équation 
(l A)x -h (m k)y -+- («-+-*)* = (), 
ou 
Ix + m\j +■ /iz -+- A'fx -4- y g] = 0. 
Lorsque A* varie, la droite A,B ( C; reste parallèle à A|B,C,; il 
est évident a priori que dans ce cas les coordonnées ?.. % y 
restent proportionnelles à des quantités constantes. 
Si Ton opère de même pour le second système de valeurs, on 
trouve pour I équation de la droite A^C, 
0. 
mn 
Lorsque k varie, la droite A;B t C; enveloppe une conique; 
cette conique est une parabole inscrite au triangle ABC et tan- 
gente à la droite A,BiC,.car si Ton donne à k les valeurs 0, — mn, 
x , cette droite coïncide avec A,B,C,, BC et la droite de l'infini. 
Il est encore facile de vérifier que dans ce cas a. 5. y varient 
proportionnellement à des quantités constantes, car si F (*) 
désigne le foyer de la parabole, les triangles FA, Ai, FB,Bi, FC,C! 
sont semblables et par suite a, |3, y sont proportionnels à 
FA,, FB { . FC,. 
3. Une % (**) est complètement déterminée par quatre tan- 
gentes. Proposons-nous de trouver l'équation en coordonnées 
a, (3, y de l'hypocycloïde :\- f déterminée par les quatre tangentes 
AB, BC, CA, A,B,C,. On peut toujours déterminer sur la cir- 
conférence ABC un point M tel que les droites MA,, MB,, MC, 
fassent un même angle avec les côtés BC, CA, AB du triangle. 
Si 0 désigne cet angle, la droite A^Cj est appelée la pédale 
(*) Ce point n'est pas indiqué sur la figure. — La propriété résulte aussi 
de ce qu'une tangente mobile marque sur les autres tangentes des ponc- 
tuelles semblables. 
(**) Le symbole iHj représente une hypocycloïde à trois rebroussements. 
