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Iroit un plan fixe en des points d'une même courbe d'ordre y. 
d'un faisceau ponctuel, son sommet décrira une surface M d'ordre 
y.(m -h Q -h 2) — 1 . 
2. Une droite commune aux congruences G,,„, G in appartient 
évidemment à la surface M, car alors l'angle est nul et les points 
de rencontre de ses côtés avec le plan a sont confondus. 
Par un des points de base du faisceau <ï> menons la droite 
appartenant à la congruence G,, fJ . Par un point de cette droite 
menons le rayon appartenant à G lrt ; ce rayon détermine une 
courbe du faisceau <ï> qui passe nécessairement par le point de 
base considéré; donc les droites des congruences G l/r , G in pas- 
sant par les points de base du faisceau <I> appartiennent à la sur- 
face M. En résumé : 
La surface M contient 1 + mn + droites simples. 
3. Soit x une droite de la congruence G lm . Cette droite déter- 
mine une courbe du faisceau $ passant par le point (x, a). Les 
droites de la congruence G,„ qui s'appuient sur cette courbe 
engendrent une surface qui rencontre x en fx(\ +n) — 1 points 
non situés sur a. On en conclut que la surface M est rencontrée 
par une droite de G lm en u(l -+- ») — 1 points non singuliers 
pour cette congruence. Nous pouvons donc énoncer les théo- 
rèmes suivants : 
1° m = 0. Si l'une des congruences est une gerbe de rayons, 
le centre de la gerbe est un point multiple d'ordre y. sur la sur- 
face M; 
2° m = 1. Si l'une des congruences est bilinéaire, ses direc- 
trices sont multiples d'ordre y pour la surface M ; 
5« m = 0. Si l'une des congruences est formée par les bisé- 
cantes d'une cubique gauche, celte courbe est multiple d'ordre 2f* 
sur la surface M. 
4. Supposons que la congruence G lm est le lieu des droites 
qui s'appuient sur une droite d et sur une courbe d'ordre m 
rencontiant m — 1 fois d. 
