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III. — Le théorème de Grassmann sur une surface 
algébrique. 
1. Soient F une surface algébrique dépourvue de singularités, 
et sur cette surface un réseau |C| de degré w, formé par des 
courbes C de genre p et dépourvu de points de base et de 
courbes fondamentales. 
Choisissons sur la surlace F trois groupes de n points situés 
à la fois sur oo 1 courbes C, ne se trouvant pas sur une même 
courbe C, et désignons-les par P 1 , P 2 , P 3 . Soient de plus trois 
autres courbes C 1} C 2 , C 3 choisies d'une manière quelconque 
dans |C|, c'est-à-dire n'appartenant pas toutes trois à un même 
faisceau. 
Un point quelconque X de F détermine une courbe C,' de |C| 
passant par le groupe de n points P,. Cette courbe C,' marque 
sur la courbe C, un groupe de n points P,' situé sur oc* courbes C. 
Donnant à t les valeurs 1, 2, 3, nous obtenons trois groupes de 
points Pj, P'i, P3; si ces trois groupes sont sur une même courbe 
C, le point X décrit une courbe G. 
Dans le cas où F est un plan et où les courbes C sont les 
droites de ce plan, on retrouve un théorème bien connu de 
Grassmann. 
2. Soit K une courbe tracée sur la surface F et rencontrant 
une courbe C en k points. Recherchons le nombre de points 
communs aux courbes G et K. 
Par un point X, de K, menons une courbe C passant par le 
groupe P,. Cette courbe détermine sur C, un groupe de points P r 
Entre des points X 2 , X 3 de K, établissons une correspondance 
telle que le groupe de points P2 marqué sur C 2 par la courbe C 
passant par X 2 et P à , et le groupe P3 obtenu sur C 3 au moyen 
