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Ordonnons les équations (2) (après remplacement des valeurs 
de # 3 , î/ 3 , ...) et (4) par rapport à X; nous aurons respectivement 
Pm\* + (Qm + R)x-t-S = 0, (5) 
P'mA 2 -+- (Q'm +■ R')A S' = 0. (6) 
Les équations P' = 0, Q' = 0, R' = 0, S' = 0 représentent 
les plans PA 2 B 2 , PA^, PA^, PAjB^ les équations P = 0, 
Q = 0, R = 0, S = 0 représentent les plans menés par le 
point P perpendiculairement aux droites A 2 B 2 , A 1 B 2 , A 2 B 1? 
AiB 4 . 
L'élimination de X entre les équations (5) et (6) conduit à 
l'équation du cône A, à savoir : 
[,„(PQ' _ P'Q) + (PR' -P'R)][ m (QS' — Q'S) + (RS' — R'S)] 
= m (PS' — P'S) 2 . 
Ce cône est donc généralement du quatrième ordre. 
Cependant, lorsque m = 1, l'équation (2) est 
2(x — a)[>, — x[ A(x 2 — x'J] = 0, 
OU 
Pa ^- S = 0, 
et A n'est plus que du troisième ordre (*). 
Lorsque P est situé sur l'hyperboloïde V, on peut le supposer 
en A 4 ; alors, en retranchant la deuxième colonne de (4) de la 
troisième et divisant ensuite par X, on réduit l'équation (4) au 
(*) L'abaissement de l'ordre de A peut s'expliquer ainsi : Lorsque m ^4, 
on passe de (2) à (5) en multipliant par (1 ■+- X) (1 Xm); mais dans l'hypo- 
thèse m = l, on chasse les dénominateurs de (1) en multipliant simplement 
par (1-t-X), de sorte que l'équation (5) doit renfermer en trop le facteur 
1 -i- X. L'hypothèse X = — 4 réduit l'équation (4) à celle du plan mené par P 
parallèlement aux droites A,Bj, A 2 B 2 . 
Géométriquement, la perpendiculaire abaissée de P sur la génératrice à 
l'infini du premier système du paraboloïde se trouve dans le plan mené par 
P parallèlement au premier plan directeur, mais sa direction est indéter- 
minée. 
