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Dans le cas d'un paraboloïde V, le cône A est du troisième 
ordre et son intersection complète avec V se compose de deux 
cubiques gauches. Cependant, lorsque P est situé sur V, A n'est 
plus que du second ordre et son intersection complète avec V 
se compose d'une cubique gauche et de la génératrice du second 
mode de V passant par P. 
11. Appelons A, le cône des perpendiculaires abaissées de 
P sur les génératrices du second système de l'hyperboloïde V, 
T| et ri les biquadratiques suivant lesquelles il coupe V. 
Soit M le pied d'une normale abaissée de P sur V; la droite 
PM étant perpendiculaire aux deux génératrices de V qui passent 
par M, ce point appartient aux deux podaires T, Tj ; le second 
point de rencontre de PM avec V est commun aux courbes r\ T[. 
Les six normales menées de P à V donnent donc six points 
communs à T et Ti et six points communs à Y' et TJ. 
On peut trouver deux cordes NIV de V qui passent par P et 
rencontrent normalement en N une génératrice g du premier 
système de V et en ÎV une génératrice h du second système. 
Car les droites g et h étant dans un même plan et perpendicu- 
laires à une même droite sont parallèles entre elles; par suite, 
le plan gh touche le cône asymptote de V. Menons donc par P 
les deux plans tangents à ce cône et abaissons de P des perpen- 
diculaires sur les génératrices de contact. Nous obtenons ainsi 
deux points communs à T et V' t et deux autres points communs 
à T et r,. 
Si l'on considère un paraboloïde V, les cônes A, Aj sont du 
troisième ordre et rencontrent V suivant des cubiques gauches 
T et T', Tj et FJ. Les pieds des cinq normales menées de P à V 
sont des points communs aux deux podaires r et 1^. Il est facile 
de voir qu'il n'existe pas de corde passant par P et rencontrant 
normalement en l'une de ses extrémités une génératrice du pre- 
mier système de V et en l'autre extrémité une génératrice du 
second système. 
