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Les développements qui vont suivre se rapportent d'abord au 
problème B, ensuite à des questions plus générales. Nous y. 
ferons usage du principe suivant: 
Étant données sur deux droites gauches a, b deux ponctuelles 
[A], [B] qui sont liées par une correspondance (m, n), la droite 
qui joint deux points homologues A, B engendre une surface 
d'ordre m -h n. 
Pour le démontrer, soient E, E' les points de rencontre d'une 
droite quelconque^ avec les plans aB, 6A; si E coïncidait avec 
E', ce serait un point de la surface. Or, si Ton se donne le 
point E, le point B sera déterminé et il y aura m points corres- 
pondants A et aussi m points correspondants E'. On verrait de 
même qu'à un point E' correspondent n points E. Il existe donc 
entre les points E, E' une correspondance (w, m) qui présente 
m -h n coïncidences. 
D'après le nombre de génératrices partant d'un point de a ou 
6, nous dirons que ces droites sont d'ordre n ou m par rapport à 
la surface. 
12. Dans le problème B, le point C décrit l'intersection c des 
plans aP, 6Q et engendre une ponctuelle [C] perspective avec 
les ponctuelles [A], [B]. La droite AB engendre généralement 
un hyperboloïde V. 
Il existe entre le point C et le point de rencontre K de la 
droite PQ avec la liauteur CC ; une correspondance (3, i) En 
effet, à un point C de c correspond un seul point K; mais lors- 
qu'on se donne K, la droite CC est une génératrice du cône des 
perpendiculaires abaissées sur les génératrices d'un même système 
de V. Comme PQ appartient à V, ce cône, qui est du troisième 
ordre (5), est coupé par le plan Kc suivant trois droites que l'on 
peut prendre pour la bauteur CC. Il en résulte que CC engen- 
dre une surface du quatrième ordre dont c est une droite simple 
et PQ une droite triple. 
Si les droites a, 6, PQ étaient parallèles à un même plan, la 
droite AB engendrerait un paraboloïde V et les perpendicu- 
