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Soit f une génératrice de V du même système que a et 6. Le 
plan mené par f ci une génératrice AB = g du premier système 
contient cinq points de la courbe [C]; un seul de ces points 
appartenant à AB, les quatre autres appartiennent à f. 
La surface [CC] est coupée par l'hyperboloïde V suivant une 
courbe du douzième ordre. Le second point de rencontre de la 
droite CC avec V décrit donc une courbe du septième ordre. 
Comme les droites f et g coupent la surface [CC] en six points, 
la courbe du septième ordre a deux points sur f et cinq points 
sur g. 
On peut donc énoncer la proposition suivante : 
Étant donnée une ponctuelle rectiligne projective avec un 
système de génératrices d'un hyperboloïde V, la projection C 
d'un point C de la ponctuelle sur la génératrice correspondante 
de V décrit une courbe du cinquième ordre dont les génératrices 
du second système de V sont des quadrisècantes . La proje- 
tante CC engendre une surface du sixième ordre; le lieu de son 
second point de rencontre avec V est une courbe du septième ordre 
qui a cinq points sur chaque génératrice du premier système de V 
et deux points sur chaque génératrice du second système. 
On peut encore établir Tordre de la courbe [C] en cherchant 
directement le nombre de ses points situés sur a; cela revient à 
déterminer le nombre des triangles ABC qui sont rectangles en A 
ou dont Torthocentre est sur a. 
A cet effet, A, B, C étant trois points homologues quelconques 
de a, b, c, appelons A x l'un des points dintersection de a avec la 
sphère de diamètre BC. Le triangle A X BC sera rectangle en A t 
et les extrémités de l'hypoténuse sont des points homologues 
de b et c. A un point A correspondent deux points A A . A un 
point Ai correspondent également deux points A. Car le plan 
perpendiculaire en A 4 à la droite joignant A t à un point quel- 
conque de la ponctuelle [B] engendre un faisceau projectif avec 
cette ponctuelle et, par suite, marque sur c une ponctuelle [CJ 
projective avec la ponctuelle [C]. Les deux points doubles des 
ponctuelles projectives [C] et [C A ] sont des positions de C telles 
