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les volumes des tétraèdres A,Aç>A r> A 4 , B]Bo 2 B 5 B 4 , C^Cgl^Qi, 
soumis à la règle des signes, on a 
6A -» | x t y i Zi 1 | , . . 
6B= |«, p, r, 1 |, • • 
6C = | a, X, (3, — y x n 
(1) 
(2) 
(3) 
en convenant de n'écrire que la première ligne d'un déter- 
minant lorsque les autres s'en déduisent par le changement de 
l'indice des lettres. 
Le déterminant (3) peut se décomposer en huit autres; en 
désignant par D et E les sommes 
I «i Vi z K * | ■+- | Xi Pi z K I | -4- | x K y, y { 1 |, 
| x { p t n \ I ■+■ | «j y t z i 1 | -+- I «i (3, z t \ |, 
on peut écrire 
6C = 6B — 6A -+- D — 
• (S) 
relatifs 
Appelons X r , Y r , Z,., U r les mineurs de | x A y^z^ 1 
aux éléments de la r e ligne; alors 
| «i Vi Zi 4 | = a,X, -+■ « 2 X 2 of 3 X 3 -+- a 4 X 4 , 
| x { S, I j — p,Y, + 6 2 Y 2 -4- p 3 Y 5 -h (3 4 Y 4 , 
| x { y t y { 1 | = r t Z, -+- r 2 Z 2 -+- ? 3 Z 5 -4- r*Z 4 . 
D'où l'on conclut 
D = («,X, -»- (3,Yi riZ.) h- (a 2 X 2 -4- |3 2 Y 2 r 2 Z 2 ) -+-••• 
Supposons maintenant les points B 1 , B 2 , B 5 , B 4 situés respec- 
tivement dans les plans A 2 A 5 A 4 , A 3 A 4 A 1? AjAjAg, A 1 A 2 A 3 ; 
nous aurons, par exemple, 
Pi r. 
x- a y* 
Xi 
= 0, 
ou 
y t z, 
a ,X, +- p,Y, r ,Z, -4- lu = 0. 
