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opposés du quadrangle P1P2P3P4; les points p. et p.' sont les 
symétriques de Q 4 par rapport aux milieux a et a' de P 2 P 3 et 
PiH 4 (2). Mais aa' est perpendiculaire à Q2Q3 et passe par le 
centre w du cercle Q1Q2Q3, c'est-à-dire du cercle tritangent 
à 9G; la parallèle menée par Q t à ^ est donc une hauteur du 
triangle Q1Q2Q3 el est symétrique de p.p/ par rapport à w. 
Donc le point P est le symétrique de Vorthocenlre du triangle 
Q1Q2Q3 P ar rapport au centre du cercle tritangent à %. 
16. — La première polaire d'une droite d par rapport à % 
est une conique tangente à la tangente double de9G, c'est-à-dire 
à la droite de l'infini; c'est donc une parabole. Cette parabole 
est tangente aux quatre droites h lt 8 2 , 8 3 , 8 4 qui touchent 
l'hypocycloïde aux points où elle est rencontrée par la droite d. 
Nous allons donner des démonstrations élémentaires de quel- 
ques propriétés déjà connues (*) de cette courbe; nous démon- 
trerons aussi quelques propriétés qui ne semblent pas avoir 
déjà été rencontrées. 
Soient B' et C (fig. 4) deux des points d'intersection de d 
et %, AB, AC les tangentes en ces points et BC la tangente 
perpendiculaire à la troisième tangente AD menée par A; le 
triangle ABC sera principal et les points B' et C seront les 
symétriques des pieds de hauteur BH 6 et CH C par rapport aux 
milieux des côtés AB et AC; le point de rencontre N des nor- 
males en B ; et C est donc le symétrique de rorthocentre D 
par rapport au centre 0 du cercle ABC. Soit M le point de 
rencontre de AN avec le cercle ABC et soit PQ la pédale de M; 
cette droite est la tangente à % qui est parallèle à la droite d; 
on sait que le point primaire de PQ est le milieu R de DM. 
Soient w le centre du cercle tritangent et F le point de 
rencontre de wR avec AN ; si l'on considère le triangle DwR 
coupé par la transversale NMF, on a 
ND Fco MR _ 
X FR X MD = 
(*) Cremona, loc. cit. Painvin, Note sur l'hypocycloïde à trois rebrousse- 
ments. (Nouvelles Annales, 1870, p. 75.) 
