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En transformant cette propriété par voie de dualité, on obtient 
la proposition suivante : 
Si un point parcourt une droite fixe q, sa droite polaire par 
rapport à une cubique nodale fixe enveloppe une conique. Lorsque 
la droite q se déplace, celte conique reste tritangente à une cubique 
nodale fixe ayant même point double et mêmes tangentes en ce 
point que la cubique donnée. 
20. — Supposons que P décrive une droite d l et proposons- 
nous de chercher géométriquement l'enveloppe de la droite d. 
Soit F,X 1 (fig. 5) la tangente à la développée de % qui est 
parallèle à d { ; l'arc XX| est double de FP 1? et si Y est son 
milieu, la droite EY est parallèle à et à c/,. Soit Z le point 
de rencontre de F^Y avec d,, la figure FPZY est un parallélo- 
gramme et YZ = FP ; les triangles FPF 1 et XYZ sont donc 
égaux, par suite le trapèze F 4 PXZ est isoscèle et la directrice Ll 
de p, qui par le milieu de PX, passe aussi par le milieu de F { Z. 
Ainsi : le symétrique Z de F, par rapport à Ll se trouve sur d i9 
donc, lorsque P décrit d u la droite Ll enveloppe une parabole 
ayant F { pour foyer et d { pour directrice. Or d est symétrique de 
Ll par rapport à w, donc l'enveloppe de d est la parabole p { ayant 
pour foyer et pour directrice le point F; et la droite d[, symé- 
triques de F 1 et de d i par rapport à w. Cette enveloppe est 
donc la première polaire de d x . 
21. — Soit ABC (fig. 6) le triangle formé par les tangentes 
menées à % par les points d'incidence A<, B|, C, des normales 
menées à par un point P, et soit A'B'C le triangle homothé- 
tique de ABC par rapport à P, le rapport d'homothétie étant 3 : 2. 
Nous avons vu que les droites B'C, C'A', A'W admettent 
toutes trois comme seconde polaire le point P. Lorsque P décrit 
une droite d u les côtés du triangle A'B^' enveloppent donc une 
même parabole p^ première polaire de d { . Donc, si l'on prolonge 
la normale PAi menée d'un point P à une % d'une longueur A 1 Aj 
égale à la moitié de PA lf la perpendiculaire élevée en A[ sur PA\ 
enveloppe une parabole lorsque P décrit une droite fixe. 
