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regelmässige 6seitige Säule, die an ihrem hinteren Ende nicht durch eine 
ebene Fläche sondern durch eine 3seitige Pyramide, deren Seitenflächen 
Rhomben sind, abgeschlossen ist. Legt man durch den Mittelpunkt der Höhe x 
dieser Rhombenpyramide eine Ebene parallel zur Grundfläche derselben und 
erweitert die Seitenflächen der 6 seitigen Säule bis zum Durchschnitt mit dieser 
Ebene, so entsteht eine kleine 6seitige Säule mit der Höhe -g, die, wie sich 
leicht beweisen lässt, denselben Inhalt hat wie die Rhombenpyramide. 
Es entsteht nun vom teleologischen Standpunkte aus die Frage, warum 
die Biene in ihrem Instinkte den viel mühsamer herzustellenden Abschluss 
wählt, da sie doch dadurch für den Inhalt ihrer Zelle nichts gewinnt. Die 
Frage ist schon vor circa 100 Jahren dahin beantwortet worden, dass 
sie damit eine Materialersparniss erzielt, oder mit anderen Worten, dass der 
Abschluss der Bienenzelle bei konstantem Inhalt das Minimum der Ober- 
fläche besitzt. Der mathem. Bew. hierfür ergiebt sich in einfachster Weise, 
wenn wir die Frage so stellen: Für welche Höhe x der Rhombenpyramide 
wird die Differenz der Oberflächen der kleinen 6 seitigen Säule und der 
Rhombenpyramide ein Maximum. Bezeichnen wir die Grundkante der regelm. 
6 seitigen Säule mit a, die grösseren Diagonale der Rhomben mit d' die 
kleinern mit d, so ist d = Vx* + a 2 d 1 = a Vs. 
Die Differenz der Oberflächen der beiden genannten Körper ist dann 
3 a 2 -i/— , 3ax 3 „ •,/— 
"2 ^ 3 + ~2 ^ ^ 3 ^ + a 2 . 
Soll diese Differenz ein Maximum werden, so muss die erste Ableitung 
nach x gleich o sein. Es muss also 
3 a 3 a -i / — x 
17 o r3. ,/ = 0 sein 
2 2 Kx 2 +a 3 
xVd 
od. 1 = . . ; daraus ergiebt sich 
fx 2 + a 2 
x = a ^1 ; es ist dann d = a ^- : nnd><T = a VW 1' = V% und d' = d 
2 2 d 
Daraas ergiebt sich, dass der an der Spitze der Pyramide liegende 
Rhombenwinkel « = 109° 28' ist. 
Zahlreiche Messungen die ich an natürlichen Bienenzellen vorgenommen 
habe, zeigten eine Bestätigung dieses Resultats. Berechnet man unter Ein- 
setzung der gefundenen Werte die Differenz der Oberflächen der genannten 
Körper so erhält man 0,477a 2 . Die mittlere Länge einer Bienenzelle fand ich 
aus zahlreichen Messungen h = 3,263 a. Berechnet man daraus die Oberfläche 
der ganzen Zelle, so ergibt sich eine Materialersparniss bis zu 2 %. 
Zum Schluss wurden Vorschläge für den Ausflug gemacht, die näher 
ins Auge gefasst werden sollen. 
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