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Linsen aufmerksam. Bezeichnet man bei einer konvexen Linse 
die Gegenstandsweite mit a, die Bildweite mit b, die Brennweite 
III 
mit f, so besteht die Gleichung -+-=-. Zieht man durch den 
SL D 1 
Brennpunkt einer Parabel von der Brennweite f eine Sehne und 
bezeichnet die beiden Teilstücke etwa mit r und i\, so besteht 
In der Sitzung vom 26. März 1915 macht Pjofessor Plaßmann 
Mitteilungen über periodische Dezimalbrüche. Man kann diese 
Art von mathematischen Reihen zu vielfachen Unterhaltungen be- 
nutzen, denen ein didaktischer Kern zukommt. Nachdem die ein- 
leitenden Definitionen gegeben und die Sätze mitgeteilt waren, mit 
deren Hülfe sich die Stellenzahl der Perioden erkennen läßt, wurden 
die Zerlegungen für die zunächst in Betracht kommenden Zahlen 
. gegeben, nämhch Iii = 3. 87; 11 11 = 11. 101; 11 III =41. 271; 
111 111 = 3.37.1 001; 1111111=239.4649; 11111111 = 11. 
101.73.137; 111 111 111 = 3.3.37.333 667. Ferner 1001=7. 
11.13; 10001 = 73.137; 100 001 = 11.9091; 1000001 = 101. 
Ii 9901; 10000001 = 11. 909091; 100000001 = 17. 5882353; 
' 1000000001 = 7. 11. 13. 19. 52 579; 10000000001 =101.99009901 
= 101. 3 541. 27 961. Hierauf wurden die allbekannten dua- 
listischen Perioden [besprochen, die durch das Zerfallen in 
I 2 sich zu einer Zahl mit lauter Neunern ergänzende Gruppen ge- 
kennzeichnet sind, z. B. 142 857, die beim Entwickeln von 1 : 7 
sich herausstellende Periode, mit der Beziehung 142 + 857 = 999. 
Man kann eine Periode nicht nur cyklisch verschieben, wodurch 
man, wie bei 142 857, Perioden enthält, die anderen Brüchen 
mit demselben Nenner entsprechen, sondern man kann auch ihr 
Spiegelbild oder Palindrom aufstellen. Dabei zeigt sich, daß, 
von den unverkürzbaren Brüchen mit den Nennern 999 . . . abge- 
sehen, auch bei manchen verkürzbaren das Palindrom einem Bruche 
mit demselben Nenner entspricht. So gibt 40 : 91 die Periode 
j 439 560, während 6:91 die Periode 065 934 ergibt. Hierausfolgt, 
daß der Gyklus 439560, wenn man ihn an allen 6 Stellen anfängt und 
die Gleichung — h - = 
r ri 
1^ 
f ' 
Sitzung vom 26. März 1915. 
