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in beiden möglichen Richtungen durchläuft, im ganzen 12 Brüche \ 
mit dem Nenner 91 bedeutet. Es gibt 90 solcher Brüche; dass ^ 
die Zahl 12 in 90 nicht aufgeht, macht nichts, da außer den 
5 Gruppen mit je 12 Biüchen, nämlich 439 560; 142 857; 153 846 
021978; 032967, die zusammen 60 Brüche ergeben, sich 5 Gruppen 
symmetrischer oder autopalindromer Gyklen finden, die bereits 
durch die einfache Verschiebung in das Spiegelbild übergehen und 
darum nur je 6 Brüche liefern. So ist 1 : 91 =0,010989 . . . , 
und man bekommt 90:91 =0,989 010... sowohl durch Rück- 
wärtslesen der Periode als auch durch Verschiebung des Anfanges. 
Die 4 anderen Gruppen dieser Art für den Nenner 91 sind 505494; 
131 868; 252 747; 626 373. 
Mit dem Nenner 91 teilen diese Eigenschaft die Nenner 9091 = 
100001 :11; 909091 = 10000001 : 11; 90909091 = 1000000001 : 11 
usw. Bei den zwei ersten ist die Sache insofern noch einfacher, 
als sie unzerlegbar sind, während z. B. 91 =7. 13 ist und in den 
obengenannten Kreisen denn auch die bei 1 : 7, bei 1 : 13 und 2 : 13 
auftretenden Gruppen sich wiederfinden. Nun ergeben beim Nenner 
91 die Zähler 12 und 79 Palindrome, ebenso 23 und 68, 34 und ' 
57, 45 und 46, Ol und 90. Ähnliche, aber viel überraschendere 
Zahlenspiele gibt der Nenner 9 091, indem z. B. der Zähler 1234 
die Periode 1 357 386 426 und der Zähler 5 679 deren Spiegelbild j 
6 246 837 531 ergibt. Ähnliche Zählerpaare sind 3 456 und 4 447; 
4 567 und 3 345; 5 678 und 2 234; 6 789 und 1123; 2 345 und 
4 568; 3 345 und 4 567, wo niemals im Zähler eine niedrigere Ziffer 
auf die höhere folgt. Ferner hat man die Paare 1111 und 8889; 
2111 und 8888; 2222 und 777S; 3222 und 7777; 3333 und' 
6667; 4444 und 5556; 5555 und 5444. Für den Nenner 909091 
wurden folgende Beispiele genannt: Der Zähler 222222 gibt die 
Periode 2444441 7555558, deren Palindrom 8555557 1444442 
dem Zähler 777 778 entspricht. Ebenso entsprechen sich die 
Zähler 333333 und 666667; 444444 und 555556; 433333 und 
666667; 322222 und 777777; 211111 und 888888. 
Die Ursache für die vollkommene Palindromie bei den Nennern 
91; 9091; 909091 usw. ist die Teilbarkeit der Periode durch 11 
in Verbindung mit der Dualität. Das Zusammentreffen dieser zwei 
Eigenschaften, die durch das Rückwärtslesen nicht geändert werden. 
