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ist eben die notwendige und hinreichende Bedingung für die Teil- 
barkeit durch die angegebenen Zahlen. 
Eine dualistische und symmetrische 10 stellige Periode hat die 
Form abcbaABGBA, wo die Buchstaben Ziffern bedeuten und 
a+ A = b + B = c + G = 9 ist. Soll sie durch 11 aufgehen, der 
Bruch also auf den Nenner 9091 zurückführbar sein, so ergibt 
der bekannte Teilbarkeitssatz die Bedingung 4a — 4b + 2c — 9 = 
llx, wo X eine positive oder negative ganze Zahl ist. So erhält 
man aus der diophantischen Gleichung z. B. die Kombinationen 
a=0 000,00000 1 1... 
b=l 2 3 45678923... 
c = 1 3 5 7 9 0 2 4 6 1 3... 
Die vorletzte Kombination z. B. ei gibt die Periode 12121 87878; 
sie bedeutet 1102:9091, während ihr Palindrom 7989:9091 be- 
deutet. Daß sich bei den Autopalindromen die Zähler zu 9091 
ergänzen müssen, ist selbstverständlich. Auch für gewöhnliche 
Palindrome kann man die Form der Summe bestimmen und dann 
z B. verstehen, wai um beim Nenner 9091 von den vorhin mitge- 
teilten Zählerpaaren so viele die Summe 7912 ergeben. 
Zu den merkwürdigen Perioden gehört noch die beim Ent- 
wickeln von 1:81 herauskommende Ziffeifolge 012 345 679. Sie 
hängt zusammen mit dem Zahlenspiel 0. 9 + 1 = 1 ; Ol. 9 + 2 11 ; 
012. 9 +3 = III; 0123. 9 + 4=^1111 012 345 678. 9 + 9 == 
III III III; 0123456789. 9 + 10 = I III III III. Dieses Spiel 
tauchte früher alle paar Jahre gleichzeitig mit der Seeschlange 
aus dem stillen Ozean der Sauergurkenzeit als große Entdeckung 
eines gewöhnlich amerikanischen Mathematikers auf. 
Auch die Wiedeikehr derselben Ziffer nach bestimmten Ge- 
setzen kann von Interesse sein. Da z. B. ein Bruch mit dem Nenner 
41 eine 5 stellige Periode ergibt, so hat man hier 40 : 5 = 8 Gyklen, 
nämlich 02439; 04878; 07317; 09716; 12195; 14634; 26829; 
36585. Nur der erste und vierte Gyklus haben lauter verschiedene 
Ziffern; in jedem der anderen finden wir zwei übereinstimmende 
Ziffern, die jedoch nie zusammenstehen, sondern stets durch die 
anderen getrennt sind, was bei 5 Gliedern nur auf eine Art mög- 
lich ist. Ein anderes Beispiel bieten die Perioden, wo der Nenner 
des Stammbruches 259 = 7. 37 ist. Die einzigen Fälle, wo hier 
