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Cet aperçu va se préciser dans les exemples suivants. 
2. Envisageons en premier lieu la plus simple de toutes les 
intégrales 
dx 
m -+- 1 
en considérant Texposant m comme la différence de deux 
nombres 
m = (9 — i) — (/) -t- I), 
absolument quelconques : entiers, fractionnaires ou incommen- 
surables, positifs ou négatifs (*). La relation précédente pourra 
s'écrire 
—p — i J 
et, sur ce produit de deux facteurs, nous appliquerons plusieurs 
fois de suite l'intégration par parties. 
Il vient ainsi 
xi~* , x-P-'dx = ~- x-P-^ J x'.x-P-'dx, 
X' . x-P-'^dx = x-"-' -f- / x9+* . x-P-^dx, 
g H- i q iJ 
/x'+* » -+- 3 /^* 
x«+' . x-P-^dx = x-P-* / x«+* . x-''-*rfx, 
et à la -h i)" opération 
x«+* 
(5)/. 
. x"^ = 
t'i^" . X- 
•p-''dx. 
(*) Mais en excluant expressément l'hypothèse q = 'p -\- \. 
