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brique à trois dimensions dont les points représentent sans 
exception les couples de points d'une courbe et d'une surface; 
le savant géomètre a construit le système canonique de cette 
variété par la considération des irjtégrales triples de première 
espèce. Dans la note suivante, je me propose de construire le 
système canonique en employant les méthodes algébrico-géomé- 
triques. 
Dans la première de ses notes citées plus haut, M. De Franchis 
avait établi une relation entre les caractères virtuels d'une courbe 
appartenant à la surface algébrique qui représente les couples 
de points d'une ou de deux courbes algébriques. Des relations 
analogues existent naturellement erure les caractères virtuels 
des surfaces appartenant à la variété qiii fait l'objet de ce travail, 
mais leur recherche es! moins simple que dans le cas des 
surfaces. Nous recherchons ensuite les invariants de Zeulhen- 
Segre et de Pannelli. 
1. — Désignons par V une variété algébrique à trois dimen- 
sions qui représente sans exception les couples de points d'une 
courbe de genre /> > 0 et d'une surface privée de courbes 
exceptionnelles, de genre géométrique Pg > 0, de genre arithmé- 
tique p^, d'invariant de Calstelnuovo-Enriques co et d'invariant 
de Zeuthen-Segre i. 
Les caractères de la variété V calculés par M. Severi sont : 
le genre géométrique Vg == ppg, le genre arithmétique 
= (p — 1) p^ -+- p, les caractères du système canonique 
« 6(p 1), = 9(p _ 1) (o) - 1) -h 1, 
Q^ = Z(p — \) (&)—!) + 2(p — 1) p„ 2p — 3, et l'irré- 
gularité superficielle q^^(Pg — Pa) P- 
La variété V possède un faisceau jFj birationnellement iden- 
tique à Cq de surfaces F identiques à F^, rt une congruence |jC(( 
identique à F^ formée par des courbes C identiques à C^,. Les 
surfaces F et les courbes C sont unisécantes. 
Dans la suite de ce travail, nous désignerons par |<I>| le système 
canonique de V et par \&q\ le système canonique de F^. Une 
surface de V formée par les courbes C qui correspondent aux 
