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12. Considérons une surface S donnée par les équations 
Les transformations cruciale et sous- cruciale appliquées à S, 
conduisent à deux surfaces 8| et S_i représentées par 
où 5, Ti, ^, X ont des significations connues. 
Soit K une courbe tracée sur la surface S. Nous pouvons 
envisager deux transformées cruciales de K : 
1° La transformée cruciale absolue de K, qui est le lieu des 
points qui se projettent sur les axes coordonnés aux points 
d'intersection de ces axes avec les plans osculateurs de K ; 
2° La transformée cruciale relative de K, qui est le lieu des 
points qui se projettent sur les axes coordonnés aux points 
de rencontre de ces axes avec les plans tangents menés à S le 
long de K. 
De même, si Ton projette un point quelconque M de K sur 
les trois axes, on peut considérer deux transformées sous-cru- 
ciales : 
1** On cherche le point de contact du plan des projections 
dans la tranformée sous-cruciale de S et Ton prend le lieu de ce 
point lorsque M parcourt K ; 
2° On cherche le point de contact du plan des projections 
lorsque M se déplace sur K. Nous dirons, dans le premier cas, 
que la transformation sous-cruciale est relative; dans le second 
cas, qu'elle est absolue. 
Supposons la courbe K donnée par les équations 
A 
