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Ces plans appartiennent à une congruence de plans; car chacun 
d'eux dépend de t et d'un second paramètre X, qui est, par 
exemple, le rapport des distances d'un point de ce plan au plan 
osculateur et au plan rectifiant qui passent par la même tan- 
gente de K. 
Le point qui correspond cruciaiement à un plan de la con- 
gruence dépend des mêmes paramétres ; donc il décrit une 
certaine surface 2. 
L'ordre de S est le nombre de plans tangents à la fois à K et 
à deux surfaces du quatrième ordre. En effet, pour trouver le 
nombre de points communs à S et à une droite rf, menons par d 
deux plans quelconques a, (î; ces plans ont pour transformées 
sous-cruciales deux surfaces du quatrième ordre T et V. Un 
plan tangent commun à K, T, V est tel que le point qui lui cor- 
respond cruciaiement se trouve à la fois sur d et sur S. 
17. A une courbe gauche K correspondent une infinité de 
transformées sous-cruciales relatives et une seule transformée 
sous-cruciale absolue ; à un point M de K correspondent une 
infinité de points que nous savons être situés sur la tangente en 
à K,, Mi désignant le point correspondant à M sur K^. Lorsque 
la tangente se déplace, elle engen ire une développable et les 
points de celle tangente engendrent l'ensemble des transformées 
sous-cruciales relatives de K. On peut donc énoncer le théorème 
suivant : 
Théorème. — La développable ayant pour arête de rebrousse- 
ment la transformée sous-cruciale absolue K>|, d'une courbe 
gauche K, est l'enveloppe des transformées sous-cnuiales des 
surfaces passant par K. Les lignes de tangence sont les trans- 
formées relatives de K. 
Réciproquement, considérons deux surfaces S et S et suppo- 
sons qu'on puisse leur circonscrire une développable A Celle-ci 
a une transformée cruciale qui est une certaine courbe K. On 
vérifie facilement que K est la ligne d'intersection des surfaces 
S_i et correspondant cruciaiement à S et £. 
