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1. Les espaces à un nombre impair de dimensions 2w -j- 1, 
considérés au point de vue de la polarité, sont homogènes en 
tous leurs points (*) en ce sens que tout espace linéaire à 2n 
dimensions renferme son pôle, pris par rapport à la courbe 
normale d'ordre 2n h- 1. 
Analytiquement, ce fait s'exprime par l'annulation identique 
d'un invariant qui constituerait la transvection d'ordre 2/i -f- 1 
d'une forme binaire du même ordre sur elle-même. 
Au contraire, les espaces à un nombre pair de dimensions 2n 
ne sont pas homogènes partout. Il n'y existe qu'une infinité 
d'ordre 2w — 1 de points satisfaisant à la condition d'être 
situés dans leur hyperplan polaire à 2w — 1 dimensions par 
rapport à la courbe normale d'ordre 2n. 
Nous envisageons ci-après le lieu de ces points. 
Soit la courbe normale C4, de l'espace à quatre dimensions, 
donnée par les équations paramétriques 
z^iz^: Zz'. : = jr} : 4X4X2 : Gx^xl : 4x^x1 : x^, ( 1 ) 
— étant le paramètre variable. 
X2 
L'hyperplan polaire, c'est-à-dire l'espace linéaire à trois 
dimensions, polaires d'un point A quelconque de coordonnées 
z, : : ^5 : ^4 : = : — ^a^ : 602 : — 4a, : cr^, (-) 
pris par rapport à celle courbe, a pour équation 
Cet espace, que nous désignerons par (a), rencontre la 
courbe C4 aux points dont les paramètres sont les racines de la 
forme binaire 
= a* =: UqxI -f- 4tt,xjx2 Qa^x^xl 405X4x1 -4- a^Xj. (4) 
(*j Fr. Deruyts, Mémoire sur la théorie de Vinvolution et de l'homographie 
unicursale. Thèse IX, p. 197. (Mémoires de la Société royale des sciences 
DE Liège, t. XVII, 2^ série.) 
