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parfaite; ce sont les conditions nécessaires et suffisantes pour 
que /4 ait un facteur triple. 
— Annotons le hessien ainsi 
H4 = AoXÎ -*- 2A,ar^X2 -+- A^x^xl -h SAjXixl -4- A^xJ; 
le point A' aura pour coordonnées A4, — 2A3, A2, — 2A|, Aq. 
La condition J = 0, qui s'écrit aussi 
(A, H,)* = 0, 
exprime que Vhyperplan (a') passe par le point A et que (a) 
passe par A'. 
Elle exprime encore que (a') figure sur C4 un quaterne d'élé- 
ments de l'involution I3 ayant pour points quadruples les racines 
de f^. Elle marque enfin que la droite A A' est commune aux 
hyperplans (a) et (a'). 
Les équations de cette droite conduisent à une constatation 
assez curieuse. Elles sont 
^5 
a^ — 4a3 — 4ai 
A, — 2A3 A, — 2A, A, 
= 0. 
Retenons de cette formule les déterminants qui renferment 
les colonnes de rangs 1, 2, 3, ou 2, 3, 4, ou 3, 4, 5. Ces équa- 
tions correspondent respectivement aux dérivées 
I y 
50 Dx| 50 DxjDxl 50 Dx* 
du covariant du sixième ordre {f^, H4)' de la forme f^^ multipliées 
par xlt x^Xo^, au moyen de la substitution déjà employée : 
xj : 4xjxa : ... X2 = : Z2 • ... ^s. 
— Avant de continuer l'étude de l'hypersurface S3, nous 
ferons une nouvelle remarque sur le hessien H4. 
