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L'équation précédente peut s'écrire 
h'^i[ao^A ^i) «2] (h -^- «2(^1 ^2) O3] 
[aîe,ôi -♦- tt8(e, -H ^2) 04] = 0. 
Si le point A est quelconque, cette expression démontre que 
lorsqu'on fait passer par le point A et le couple de points fixes, 
de paramètres et G^, une infinité d^espace linéaires à trois 
dimensions, les intersections restantes avec C4 donnent les couples 
d'une involution quadratique If. 
En confiparant aux expressions (27), on voit en outre que, si 
le point A est situé sur Thypersurface S5, c'est-à-dire si J égale 
zéro, ou encore si les points A, 9,, sont en ligne droite, le 
couple (0304) est indéterminé. 
Vinvolution dont le point central est sur une bisécante de C4 
a comme éléments neutres le couple des points d^appui de cette 
droite. 
En éliminant les paramètres et 04 entre l'équation ci-dessus 
et les équations d'une bisécarite, on obtient le lieu des bisécantes 
marquant par leurs appuis sur C4 les couples de l'involution If 
considérée. 
Sous une forme générale, ces équations s'écrivent 
36,(8r,Z3 — 5zf) -h 66,(6^,2* — z^z,) bç,(9z,z^ — 4z|) = 0, 
36o(6z,Z4 — Z2Z3) -f- 26,(562,Z5 — zl) -4- 362(6x2^5 — ZzZi) = 0, 
bo(^^,Zi — 4zl) -H 66, (6Z2ZS — zz^i) 362(8z5Z« — 3zJ) = 0 ; 
deux quelconques d'entre elles représentent le lieu cherché. 
Mais l'élimination de 03 et entre les équations de la bisé- 
cante donne la relation (S3) = 0. 
Donc, l'hyper sur face 83 contient toutes les surfaces réglées 
dont les génératrices marquent sur C4 les couples d'involutions 
quadratiques. 
Chacune de ces réglées a deux génératrices seulement tan- 
gentes à C4; elles correspondent aux éléments doubles de l'invo- 
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