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plan, donne une courbe cubique à point double par son inter- 
section avec S3. 
Toute surface cubique à quatre points doubles porte neuf 
droites ; nous venons d'en désigner six ; les trois autres sont les 
intersections du plan tangent à la surface le long des trois 
couples d'arêtes opposées du tétraèdre. 
Nous retrouvons encore ici les droites d du numéro précé- 
dent, S**, et aussi du numéro 19. Du reste, on a l'énoncé : 
La condition pour qu'une génératrice de S3 s'appuie sur deux 
bisécantes est quelle appartienne à une surface cubique répon- 
dant à l'équation ci-dessus. 
Car les coordonnées d'un point d'une droite s'appuyant sur la 
bisécante unissant les points de paramètre 9^ et et sur celle 
relavive aux points de paramètre G3 et O4 sont de la forme : 
= (î) [(6i + m + / (6'5 + (i = 0,4,2,3,4) 
En les substituant dans l'équation de S3, on trouve l'équation 
précédente où l'on aurait fait la substitution : 
Xi : X2 : X3 : X4 = 1 :k: l : lk\ 
— Nous avons vu précédemment (numéro 21, 3*") que tout 
hyperplan langent à S3 rencontre cette liypersurface suivant une 
surface cubique réglée qui a une bisécante de C4 comme droite 
double. 
Lorsque l'hyperplan est surosculateur à C4, il contient en 
entier le plan osculateur à la courbe au point de surosculation. 
Or, ce plan coupe C3 suivant une droite considérée comme 
triple. L'hyperplan rencontre donc S3 suivant une surface 
cubique à droite triple ; celte surface est, par conséquent, 
constituée par trois plans passant par cette droite. 
Le plan osculateur n'est pas un de ceux-ci, puisque son inter- 
section avec S3 est parfaitement déterminée. 
La courbe C4 a une infinité de tangentes par chacune des- 
quelles passent trois plans constituant de telles surfaces cubiques 
d'intersection. 
