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7. Si a est parallèle à une génératrice a| de V, le plan de ces 
deux droites se détache de la surface. De plus, si J désigne le 
point d'intersection à l'infini de a avec a,, il y a en J une infinité 
de perpendiculaires communes à a et Le plan de Tinfini se 
détache également de la surface, et le conoïde [g) est maintenant 
du quatrième ordre. 
Par un point de a il ne passe plus que trois droites g et il 
n'existe plus qu'une droite g de direction donnée. Par suite, 
a est une directrice triple et i une droite simple, ce qui confirme 
que le conoïde est du quatrième ordre. 
L'ordre de la surface, dans ce cas particulier, peut également 
s'établir par un raisonnement déjà employé dans le cas général. 
La droiie a étant génératrice de V est aussi génératrice du 
cône S. Tout plan passant par a coupe le cône S suivant une 
génératrice 6', autre que o; soit/) la perpendiculaire au plan al'. 
Appelons {jl, v les plans menés par une droite quelconque Sx, 
l'un par/) et l'autre par b' . Si l'on donne p est l'intersection 
de a avec le plan perpendiculaire en S à a; le plan perpendi- 
culaire en S à p coupe le cône S suivant a et une deuxième 
génératrice b' du cône S; il faut négliger a qui est fixe; donc 
à un plan ^ correspond un seul plan v. Mais un plan v coupe 
le cône S suivant deux génératrices b' , b'^ auxquelles corres- 
pondent deux génératrices b, b^ de V. 
La correspondance entre jji et v est donc (2,1); les trois coïnci- 
dences de la correspondance (ja, v) sont les plans tangents à 
l'enveloppe des plans b'p. Les plans bp ont aussi une enveloppe 
de la troisième classe (4). 
La perpendiculaire en S au plan tangent mené par a au cône S 
indique la direction de la perpendiculaire commune à a et à la 
génératrice infiniment voisine sur V de r/^. 
Cela posé, soient X, Y les points de rencontre des plans a, [3 
avec une droite quelconque u. X, Y, liés par une correspondance 
(3, 1), coïncideront quatre fois. 
Le conoïde est donc du quatrième ordre. 
8. La perpendiculaire commune à deux génératrices d'un 
même système d'un hyperboloïde V dont lune a est fixe et l'autre 
