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La courbe (B) est également du cinquième ordre. Car Fenve- 
loppe du plan ap =ng étant de ia troisième classe, les points 
P et Q, définis plus haut, sont liés par une correspondance 
(3, 1) : d'où quatre points de (B) sur 6 et cinq dans le plan bc. 
Cas particuliers. — 1" Supposons que le faisceau et le para- 
boloïde aient un élément uni a^- Le plan ab' engendre alors un 
faisceau etp décrit un plan. Les plans ap et b'p rnveloppenl des 
développables de la seconde classe; Tenveloppe de a est donc de 
la seconde classe et celle de (3 de la troisième. On obtiendra, 
sur w, cinq points de la surface {g), et celle-ci est du cinquième 
ordre, ou plutôt du quatrième ordre si l'ou écarte le plan ai vers 
lequel tendent les plans a ei p lorsque a et b approchent indéfi- 
niment de a^. 
Le lieu de p étant un plan, on n'obtient plus qu'une droite g 
dans le plan {ji. Le cône A de sommet M étant du second ordre 
(2), on en déduit aisément qu'il passe par M trois droites g dont 
une est située dans le plan a^. La section par le plaiï pi se com- 
pose actuellement d'une droite et d'une courbe du troisième ordre 
passant deux fois par M. 
Les points P ei Q liés par une correspondance (2, 1) coïn- 
cident trois fois sur c en des points de (B); cette courbe est donc 
aussi du quatrième ordre. 
2° Si le plan ^ du faisceau est le plan directeur de V\ la sur- 
face g est un cylindre dont les génératrices sont perpendiculaires 
à fji. Les plans ap et b'p décrivent des faisceaux ayant pour axe p. 
Le plan bg = ^ enveloppe un cylindre circonscrit à et dont 
les génératrices sont parallèles à p, 11 s'ensuit que les plans 
homologues a, p rencontrent une droite ii en des points qui 
coïncideront trois fois : le cylindre est donc du troisième ordre. 
La perpendiculaire menée par M au plan {x est une droite g 
double, car elle rencontre normalement deux génératrices de 
La trace (A) du cylindre sur pi est donc une cubique ayant un 
point double en M. 
Les plans ap et la droite b marquent sur une génératrice du 
second mode c deux ponctuelles projectives dont les points dou- 
