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Irices du second mode de V qui sont des droites g. A une 
droite a il ne correspond plus qu'une perpendiculaire commune. 
Une génératrice quelconque a de V rencontrant la surface {g) 
en trois points, cette surface est du troisième ordre. 
20. Supposons les systèmes réglés projectifs superposés sur 
un même paraboloïde V^ Les droites a', 6' engendrent le plan 
directeur de et p est perpendiculaire à ce plan. La surface {g) 
est donc un cylindre. Sur chaque génératrice a de on obtient 
encore deux points du lieu qui sont les pieds des perpendicu- 
laires communes correspondant à a. Comme il n'existe aucune 
droite g parmi les génératrices de V^ la surface g est un cylindre 
du second ordre. 
On peut traiter ce cas de la manière suivante : les génératrices 
homologues a, 6 marquent sur une génératrice u du second 
système deux ponctuelles projectives [M], [NJ. Si Ton projette 
toutes les génératrices du premier système orthogonalement 
sur un plan >. parallèle au premier plan directeur, les projec- 
tions enveloppent une parabole. Les projections a' , b' de a, b se 
correspondent dans une homographie entre les tangentes à cette 
parabole; leur point d'intersection P décrit une conique, car 
sur a' on trouve deux points qui correspondent à a considérée 
comme appartenant à la première ou à la seconde série. La per- 
pendiculaire en P à X est une droite g; la surface {g) est donc 
un cylindre du second ordre. 
Soient I et J les points de fuite des ponctuelles projectives [M], 
[N], i et y les génératrices correspondantes du paraboloïde. 
Le cylindre est hyperbolique et ses plans asymptotes sont 
parallèles aux plans menés par i eij perpendiculairement à A 
Si les ponctuelles [M], [N] sont semblables, le cylindre est 
parabolique. 
Les ponctuelles [M], [N] ont deux points doubles D, K; soient 
d, e les génératrices de V passant par D, E, et d', leurs 
projections sur X. Les plans menés par ces droites perpendicu- 
lairement à 1 touchent le cylindre. 
