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19. Si les systèmes [a] et [6] sont en involulion, on a p = — 1; 
les équations (17) et (18) peuvent être remplacées par les sui- 
vantes : 
/î3* ^1 = 0, = 0, (21) 
qui sont de la forme 
E E,p^ = 0, F F^p* F,p* = 0. 
L'élimination de p conduit à une équation du troisième degré 
en P|, P^, P3, P4, de sorte que la surface (g) est du troisième 
ordre. 
Les points A et B décrivent la même quartique. 
20. Examinons enfin deux systèmes projectifs, [a] et [6], 
situés sur un même paraboloïde V. En représentant encore a et 6 
par les équations (13) et (16), nous supposerons les plans (15) 
parallèles pour p == pj, et les plans (16) parallèles pour p = p^. 
Les équations (19) ei (20) sont alors divisibles par le produit 
(p — pi) (p — pi) ; il en résulte que la surface (g) est un cylindre 
de second ordre et les points A et B appartiennent à une même 
cubique gauche. 
21 Si les systèmes [a] et [b] sont en involution, la première 
des équations (21), après simplification, est indépendante de p; 
donc la droite g engendre un plan perpendiculaire au plan 
directeur de V^ et le lieu des points A et B est la conique 
suivant laquelle le plan (g) coupe le paraboloïde. 
