( ^ ) 
et continues ainsi que leurs dérivées partielles. Lorsque t varie, 
les lignes u ei v ont pour enveloppes deux courbes U et V, et 
leurs points d'intersection décrivent une ligne c dont l'équation 
s'obtient en éliminant t entre les équations (1). 
L'équation de U résulte de l'élimination de t entre les 
équations 
¥i,uy.t) = 0. ^ = 0. (2) 
Cette ligne louche généralement une ligne u aux points 
définis par les équations (2). Cependant il peut arriver qu'un 
point défini par les équations (2) soit un point singulier de m; 
nous admettons ici que les systèmes de courbes u et v n'ont 
que des points singuliers isolés. 
Soit (X(, yi, ^^) un système de solutions des équations 
F(.r, y, î) = 0, f(x, y, t) = 0, Ft(x, y, t) = 0 ; (3) 
le point Mj (^i, î/i) appartient alors à la fois à la lignée et à 
l'enveloppe U. Les lignes c et l] sont tangentes en Mj. 
En effet, U est définie par les équations 
¥U.y,t) = 0, ¥l(x,y,t) = 0. 
Supposons que = 0 ; on tire t = iù(x,y); l'équation de U 
sera ¥(x, y, w) = 0 et le coefficient angulaire de la tangente 
sera déterminé par 
¥,:^(x, y, w) 4- F;(^', y, w)//' -f- F^(wj, + (ù'yy') = 0. 
Or, au point M|, est identiquement nulle, parce que w est 
la valeur de t tirée de l'équation FJ = 0; l'équation précédente 
se réduit à 
¥;ax, y, w) + ¥y{x, y, iù)y' = 0. 
De même, la courbe c est définie par 
¥(x,y,t) = 0, f{x,y,t) = 0, 
