( 5 ) 
et si (le f(x, y, t) =0 on tire t = z(x, y), l'équation (Je c sera 
^{^> y* ^) = 0. Le coefficient angulaire de la tangente sera 
déterminé par 
F;(a;, y, £) + f;(^, y, e)y' + f;(£; + hy') - o. 
Au point e(a?, î/) est la valeur de t qui correspond aux 
courbes m et v qui passent par ce point ; donc Fé est nulle, car 
le point M| est sur la courbe U. L'équation précédente donne 
donc pour y' la valeur trouvée plus haut, et par conséquent les 
lignes c et U se touchent en Mj. 
Cependant, si au point on avait F^^ = 0, F^'^ 0, c'est- 
à-dire si Ml était un point singulier de m, les courbes c et U 
ne seraient pas nécessairement tangentes en ce point. Dans ce 
cas, Ml serait aussi un point singulier de c, car les dérivées 
partielles du premier membre de l'équation de cette courbe 
sont 
F. + . F y + f;-J'; 
dx dy 
ces dérivées sont nulles puisque F^ = 0, Fy = 0, FJ 0. 
2. Le raisonnement précédent est en défaut si ^x+^yy'=<^ ; 
or on a identiquement f{x, y, e) = 0, donc 
/'^ + /;v + ré + =--0. 
On en conclut qu'en général l'hypothèse + s^y' = x est 
équivalente à = 0 (*). 
Prenons par exemple pour f = 0 l'équation 
f {x, y,t) = ^ (x, î/, 0 + 4^ (^^ y> t) F {X, y, t) = 0. 
(*) Le point M, est alors commun aux deux lignes U et V. 
