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L'élimination de l entre cette équation e( F = 0 donne 
(f(x, y) = 0. La fonction cp étant arbitraire, la courbe c ne sera 
pas en général tangente à U. On se trouve en effet dans le cas 
d'exception que nous venons d'indiquer, car on a 
/; = ^ . f; + F . Yt, 
et les hypothèses F ^ 0, FJ = 0 enl rainent fl = 0. 
3. Si au point on avait F'^ = 0, la courbe u aurait en 
ce point un contact du second ordre avec son enveloppe U. 
En dérivant l'équation (4) et en taisant dans l'équation 
obtenue F^ = 0, F'^ = 0, on verrait que y" a la même valeur 
pour les courbes c et U ; ces courbes ont donc, dans ce cas, 
un contact du deuxième ordre au point Mj. En particulier, si 
la courbe u a dans toutes ses positions un contact du deuxième 
ordre avec son enveloppe, les courbes c et U ont un contact 
du deuxième ordre aux points M^, iM^, ... 
Cette remarque peut évidemment être étendue aux contacts 
d'ordre supérieur. 
4. Nous passons maintenant à l'étude des ellipses tritan- 
gentes à une hypocycloïde à trois rebroussements. 
Considérons un cercle de centre 0 et de rayon R et deux 
diamètres rectangulaires AA' et BB' que nous prenons comme 
axes coordonnés. Si nous portons sur la circonférence deux 
arcs AM = — 28, AN = 46 (*), l'équation de la droite MN, que 
nous désignerons par w, sera 
¥{Xy 9) = 0^ cos 8 -f 2/ sin 9 — R cos 38 = 0. (o) 
(*) L'angle 20 porte le nom à! angle directeur de la droite MN, les points 
M et N sont appelés respectivemenl point primaire et point secondaire de 
cette droite. 
