( 7 ) 
Lorsque fl varie, u enveloppe une hypocycloïde à trois 
rebrousseinents que nous désignons par U. Soit V la courbe 
symétrique de U par rapport à un point C(a, p), et soit v la 
tangente à cette courbe qui est perpendiculaire à u; son équa- 
tion s'obtiendra en remplaçant dans l'équation (5) x, y par 
2a — a?, 2(3 — y et 8 par J + 0 ; cette équation est donc 
f{x, y, 0) = (2a — X) sin 0 — (2p — y) cos 8 + R sin 36 = 0. (6) 
Soit c le lieu du point d'intersection P des lignes u et v; 
cette courbe sera tangente (§ 1) aux hypocycloïdes U et V. 
Pour effectuer l'élimination de 8, nous mettons les équations 
(5) et (6) sous la forme 
(x — a) ces 8 -|- (i/ — P) sin 8 = R cos 38 — a cos 8 — {i sin 8 ; 
(j: — a) sin 8 — (î/ — [3) sin 8 = R sin 38 + a sin 8 — p cos 8, 
on en tire 
a; — a = R cos 28 — a cos 28 — ^ sin 28, 
— (3 = — R sin 28 — a sin 28 + p cos 28. ^ ^ 
Kn éliminant 28, on obtient 
[?(X _ a) - (R - a) (i/ - !3)f + [^(y _ _ (R + a) (a; - a)J 
= (a-3+p— (8) 
Ainsi la courbe c est une ellipse ayant pour centre le 
point C. 
5. D'après le théorème que nous avons démontré au 
§ 1, l'ellipse c est tangente à l'hypocycloïde U en un 
certain nombre de points; nous allons déterminer ces points 
de contact. 
