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connu. M. Pieri ramène aussi le second problème à une pro- 
priété de l'espace à quatre dimensions, mais la résolution est 
incomplète, comme M. Montesano (26) l'a montré dans un 
mémoire publié en 1895. 
Dans ce nouveau travail, M. Montesano remarque qu'une 
congruence linéaire de coniques est complètement déterminée 
lorsque l'on connaît soit un réseau de surfaces dont les fais- 
ceaux ont pour bases variables les coniques de la congruence, 
soit un faisceau de surfaces sur chacune desquelles se trouve 
un faisceau de coniques de la congruence. Les congruences 
sont classées d'après le type de l'involution qu'elles détermi- 
nent sur un plan quelconque de l'espace. Ces involutions ont 
été ramenées par des transformations birationnelles à trois 
types fondamentaux par M. Bertini et, plus tard, par M. Kan- 
tor (*), et M. Montesano détermine des congruences de coniques 
d'ordre un qui marquent sur un plan quelconque un de ces 
types. A la fin de son mémoire, M. Montesano démontre que : 
Une congruence linéaire de coniques admet un faisceau géné- 
rateur de surfaces rationnelles à sections planes rationnelles ou 
elliptiques, ou admet un réseau générateur de surfaces rationnelles 
à sections planes elliptiques. 
M. Montesano en déduit qu'une congruence de coniques 
admet un réseau ou un faisceau générateur de surfaces d'ordre 
< 8. Ensuite il déclare qu'il a examiné séparément toutes les 
transformations birationnelles involutives du plan possédant 
des courbes unies de genre un, et qu'il a cherché quand il 
pouvait y avoir une congruence linéaire de coniques, donnant 
une telle correspondance, mais M. Montesano ne donne aucune 
démonstration de ce dernier point. 
S. Kantor (21) a démontré que toute congruence linéaire de 
coniques peut se ramener, par des transformations biration- 
nelles, à une congruence ayant toutes ses courbes dans les 
plans d'un faisceau, ou toutes ses courbes dans les quadriques 
d'un réseau. 
(*) Consulter : G. Castelnuovo, Sulla razionalita délie involuzione piane. 
(Math. Annalen, 1893, XLIV, pp. 125-155.) 
