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§ — Sur les congruences linéaires de coniques. 
13. Soit r line congruence linéaire (c'esl-à dire d'ordre un) 
de coniques. Les intersections des coniques de r avec un plan 
quelconque tt forment une involution. D'après un théorème de 
iVI. Castelnuovo (*), cette involution est rationnelle. Or, cette 
involution est biralionnellement équivalente à la congruence F, 
donc : 
Une congruence linéaire de coniques est rationnelle. 
De ce théorème de iVI. Castelnuovo, nous pouvons encore 
conclure que dans les équations d'une conique de la con- 
gruence r : 
\a\% + \a^% + . . . + \a6% = 0, 
les (X) et les (w) sont des fonctions effectives, homogènes et 
rationnelles de trois paramètres t<^, t^, ou des fonctions 
non homogènes d'un paramètre. 
Soient (ch. HK § 1), 
Fi {\, \> Wi, U2, Us, W4, = 0 (i = 1, 2, . . 8) (1) 
les équations définissant la congruence T. D'après le théorème 
établi plus haut, les fonctions sont rationnelles en l^, t.2, 
algébriques et homogènes en Çk) et en (u). Résolvons ces équa- 
tions par rapport aux (k) et aux (u) et substituons à ti, les 
rapports y, ^ nous obtenons 
lescp et les 4^ étant rationnelles, entières et homogènes. 
(*; Sulla razionalità... (Loc. cit.) 
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