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Supposons d'abord qu'il n'existe pas de coniques de la con- 
gruence dégénérées en des droites comptées deux fois. Alors 
les droites a^, a^, sont toutes des quadrisécantes de la 
courbe singulière C. Cette courbe aura le plus grand nombre 
de quadrisécantes lorsqu'elle sera rationnelle, donc, d'après un 
théorème de F. Deruyls (*), on a p < 20. 
Par une des quadrisécantes éventuelles a de C, menons un 
plan 7c. Ce plan rencontre encore C en trois points et la droite 
qui joint deux quelconques de ces points forme avec a une 
conique de la congruence. I.e plan n contient donc trois coni- 
ques dégénérées do la congruence et, par suite, la droite a est 
triple pour chaque surface F. Ainsi, on a aj = = ... = 
= 3 et 
|;a? = 9/; = 8£2 + 2£. 
Une première solution est fournie par e = 0, p = 0. Voyons 
s'il peut exister d'autres solutions, en nombres entiers et 
positifs, de l'équation précédente. On a nécessairement 
Posons 2^ = 72/) -f 1. Le produit (z — i) (z -\- i) doit être 
divisible par 72. L'un des facteurs doit être multiple de 9. 
D'autre part, si l'un des facteurs est multiple de 4, l'autre est 
multiple de 2, il sulTil donc de considérer les cas suivants : 
z ^ 56ri + 1 ; z 1871 + i, z = i8ri - i, 2 = 36t, — 1, 
fi étant dans chaque cas un nombre entier et positif. Les valeurs 
correspondantes de p sont :p = 72ïi (18/) + 1), p = 56yi (r\ + 1), 
p = 367) (ti — 1), p = 72ti (18ti — Dans chaque cas, p doit 
être au plus égal à vingt, ce qui exige toujours y, = 0. Nous 
voyons donc que la courbe C ne peut avoir de quadrisécantes, 
(*) Notes sur les sécantes multiples des courbes gauches rationnelles, 
(Bull, de l'Acad. roy. de Belgique, 1898, (3), XXXV, pp. 287-294. 
