( 48 ) 
ment pas une congruence. On supposera donc que la courbe C 
admet une seule sextisécanle et quelques quadrisécanles 
<*2' ^5? %' 
La droite ai fait partie d'une seule conique dégénérée, donc 
aj 1. Chacune des p — \ quadrisécantcs de la courbe C fait 
partie de trois coniques dégénérées appartenant à une même 
surface F, donc as = ... = a^ = 3. On a ainsi 
4- 2£ + 8 — 9/) - 0, 
équation que l'on obtient en égalant les deux valeurs de <t : 
p 
2a-, 8£^ + i2£. Un raisonnement analogue à celui qui a été 
développé au numéro 23 montre que la seule solution possible 
en nombres entiers est p = 2, £ = 1 (on tient compte dans le 
calcul de la limite supérieure de p). 
Pour £ = i, on a ni = 4, q = 5. Les surfaces F sont des 
surfaces du neuvième ordre passant triplement par la courbe C 
et sa quadrisécante a^, simplement par la sextisécante a^. 
Considérons un point P quelconque sur la droite et 
construisons la surface F relative à ce point. La surface F|, 
lieu des bisécantes de C s'appuyant sur acj, va évidemment faire 
partie de F. Supposons que par un point arbitraire de 
passent k bisécantes de C, alors Fj est d'ordre /c 4- 3. F^ faisant 
partie d'une surface F, d'ordre 9, on a /c < 6. La courbe C, 
d'ordre sept, possédant une sextisécante aj, est rationnelle, 
elle se projette du point P sur un plan n en une courbe ration- j 
nelle C possédant un [»oint quadruple et k points doubles. La I 
courbe C possède donc en outre un certain nombre de points 
singuliers équivalents à 9 - A; points doubles, car une courbe 
plane d'ordre sept est au plus de genre 45 et un point quadruple 
abaisse le genre de G unités, /c points doubles de /c unités. Remar- 
quons que par un point quelconque de passe jamais 
de trisécante de C, car une pareille droite rencontrerait chaque 
surface F (d'ordre 9) en douze points et appartiendrait ainsi 
à toutes ces surfaces, ce qui est impossible. Les nouvelles sin- 
