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Donc, dans le premier cas, on doit avoir 
36;? = 4e^ — '2e — t 
ou 
Cette équation est impossible pour p, e entiers et positifs, 
donc le premier cas doit être rejeté. 
Envisageons le second cas b). Alors 
Posons i + i6p' = z^^. Alors {z — i) (2 -f 1) est multiple 
de 16. Si l'un des facteurs est multiple de 8, l'autre sera pair, 
il suffit donc de considérer les cas z = 8ri -f- 1, z = Sr^ — 1, 
r, étant entier positif dans chaque cas. Ces cas donnent respec- 
tivement pour £ les valeurs e = 6ri -f i , s = 6r, — ^. La seconde 
est évidemment à rejeter. 
Ainsi, dans l'hypothèse 6), on a s = 610 + 1, p' = r, (4ti + 1). 
Plaçons-nous enfin dans l'hypothèse c). On doit avoir : 
équation impossible en nombres entiers. 
En résumé, lorsqu'une congruence linéaire de coniques pos- 
sède une courbe sextisingulière d'ordre huit, on a 
n,v, = 2(9ri + 2), q = 3(4yi + 1), ^ = 144/r + 867^ + 1. 
18p' = 2£2 — £ — i, 
d'où 
18p" = 2£2 — £ — ! — -> 
La courbe singulière possède une sexlisécante et r, (4r, 4- 1) 
quadrisécantes. 
