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Soil a une des quadrisécantes éventuelles de la courbe C 
(y; < 0). Si nous désignons par n le genre de C, il passera io 
— 7c bisécantes de celle courbe par un point P de a. Mais la 
surface F relative au point P passe six fois par a et contient 
la surface lieu des bisécantes de C s'appuyant sur a, donc 
15 — 71 <6 et TT ^ 9. 
D'autre part, si nous projetons la courbe C sur un plan 
quelconque d'un point commun à C et à la sexlisécante, nous 
voyons que tu < 5. Nous arrivons ainsi à une absurdité prove- 
nant de ce que nous avons supposé yi>0. Ainsi on a ri = 0 et 
nj vi 4, qf = 3, (7 = 1. 
Soit Q un point quelconque de la courbe C. La surface F 
relative au point Q va se scinder en une surface F^ lieu des 
coniques de la congruence passant par Q| et en une surface 
résidu Fg. La surface F^ est du sixième ordre, car la courbe C 
étant triple pour F, une droite issue de Q est la corde de trois 
coniques de la congruence passant par Q. La surface F-j est 
alors du troisième ordre, elle passe simplement par C et par 
la sextisécante d. La surface Fi passe doublement par C. 
Les surfaces F^ construites en partant de tous les points de 
la courbe C forment nécessairement un faisceau et les coniques 
de la congruence situées sur une de ces surfaces forment un 
faisceau, sans quoi la congruence ne serait pas linéaire. La 
courbe C et la droite d forment donc la base d'un faisceau de 
surfaces cubiques. 
Considérons une conique de la congruence et la surface F2 
qui la contient. Le plan de la conique rencontre cette surface 
en une droite qui s'appuie nécessairement sur d et deux fois 
sur C. Ainsi, les plans des coniques de la congruence enveloppent 
la surface lieu des bisécantes de G s'appuyant sur d. 
Si nous construisons la surface F relative à un point de la 
droite d, nous voyons qu'elle comprend autant de surfaces Fg 
qu'il passe de bisécantes de C par le point choisi. Si k est ce 
nombre, comme F est d'ordre 9, on a nécessairement k <5. 
La surface enveloppe W des plans des coniques de la con- 
gruence est alors d'ordre k-\-\. Si un plan tangent à W conte- 
