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§ 4. — Congruences linéaires de coniques 
ayant une courbe bisingulière et une courbe quartisingulière. 
26. Considérons une congrnence linéaire de coniques T, 
possédant une courbe bisingulière d'ordre Xi et une courbe 
quartisingulière d'ordre Xg. On a > 2 (*), Xg > 4. 
Les équations (5) et (5) du numéro :20 deviennent ici : 
(2n,v, + \y = 2niVi + \qt + IS + a, (1) 
2//,v, + 1 = + 2^,. (2) 
Éliminons 2niV| entre ces équations, elles deviennent 
{\ - m - - '^)(h + (\ - m + ^1 + ^ - 1 = 0. (3) 
Le discriminant de l'équation (5), où q^ est considéré comme 
inconnue, doit être positif ou nul, car ^2 ^st un nombre entier 
et par suite est réel. Ainsi 
(U, + X, - \X^ql - \(q, - 1) - (X, _ 4) <T - 3 > 0. (4) 
On a 5i > 1 , X02 ^ 4, de sorte que X2((/i — 1) + — 4')<t + 3 
est certainement positif. L'inégalité précédente entraîne donc 
4\ + l,-\l,>0. (5) 
Puisque X^ > 2, X4 — 1 est positif et Ton a 
X2<.- T OU 4 + .^ - 
Ai — 1 X^ — 1 
La plus grande valeur de la fraction est atteinte pour 
Xi = 2; donc X2<8. L'ordre de la courbe C2 peut donc prendre 
les valeurs X2 = 4, 5, 6, 7. 
(*) Le cas À, = 1 rentre dans la première catégorie (chap. III, § 2). 
