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Pour ^2 = 4, le polynôme — W est posilit 
quelle que soit la valeur attribuée à X^. Pour 1^'==^, on a 
4X1 + ^2 — ^1^2 = ^ — Xi>0, et \i peut prendre les valeurs 
2, 3, 4. Si Ag^^B, 7, Xi peut seulement prendre la valeur 
Âi = 2. Ainsi : 
Si une congruence linéaire de coniques possède une ligne bisin- 
gulière et une ligne quartisingulière 63, ou bien est une 
quartique et Ci est d'ordre quelconque (> 2) ; ou bien est une 
quintique et Ci est une conique, une cubique ou une quartique; 
ou enfin Ci est une conique et l'ordre de C^ est égal à six ou sept. 
27. Considérons en premier lieu une congruence linéaire 
formée par les coniques s'appuyant en quatre points sur une 
quartique gauche de première espèce et deux points sur 
une courbe C^, d'ordre X|. Soit A; le nombre des points d'appui 
de la courbe sur la quartique Cg. 
La courbe Cg est la base d'un faisceau de quadriques |Q|. 
Une quadrique Q de ce faisceau |Q| contient toutes les coniques 
de la congruence passant par un quelconque de ses points (en 
dehors de Co). Ces coniques sont en nombre simplement inlini 
et forment par conséquent un faisceau, car autrement la con- 
gruence ne serait pas linéaire. Les plans des coniques situées 
sur la quadrique Q ont donc en commun une droite d. Lorsque 
la quadrique Q varie dans le faisceau |Q|, la droite d décrit 
une surface la surface-enveloppe de la congruence.. 
Une quadrique Q rencontre la courbe Ci en 2Xi — k points 
en dehors de C^; par chacun de ces points passent des coniques 
de la congruence en nombre infini, et toutes ces coniques 
appartiennent à Q. On en conclut que les points d'intersection 
considérés sont aussi les points communs à la quadrique Q et 
à la droite d relative. Par suite 2X4 — A = 2, c'est-à-dire 
/c = 2(X| — i). Les droites d sont des bisécantes de la courbe Ci 
et celle-ci possédant une série linéaire d'ordre 2, est hyper- 
elliptique. 
Si dans un plan tangent à la surface W se trouvent générale- 
