( S9 ) 
droite s'appuyant sur a, Cj, Cg, une conique dégénérée de la 
congruence. Dans un plan passant par a se trouvent — 1 
droites formant avec a de pareilles coniques dégénérées, donc 
la droite a est multiple d'ordre — 1 sur toute surface F. La 
surface F relative à un point P de a se scinde en deux surfaces 
dont l'une est le lieu des droites s'appuyant sur a, Ci et Cg. La 
multiplicité de a pour cette dernière surface ne peut donc 
excéder Xj — 1. Cette multiplicité est égale au nombre de 
droites s'appuyant sur Gj, (en des points distincts) que 
l'on peut mener par P, c'est-à-dire à Ali —k — 5. Ainsi 
4Ai — ^ — 5<Xi — 1, c'est-à-dire /c>3Xi — 2. 
S'il existe une trisécante de s'appuyant sur Ci, on doit 
donc avoir SX^ >A;>5Xi — 2, c est-à-dire Xi-=2, k Il 
ne peut donc pas exister de telles trisécantes, c'est-à-dire 
Supposons qu'il existe une droite a' s'appuyant deux fois sur 
chacune des courbes Ci, Cg (en des points distincts). Toute 
bisécante de C2 s'appuyant sur a' forme avec cette droite une 
conique dégénérée de la congruence. Un plan passant par a' 
coupe encore C2 en deux points, donc a' est simple pour toute 
surface F. Si nous construisons la surface F relative à un 
point de la droite a\ nous voyons que cette surface se scinde 
en deux autres dont l'une est le lieu des bisécantes de C2 
s'appuyant sur a'. Par conséquent celte droite doit être simple 
pour cette dernière surface. Mais, d'autre part, par tout point 
de a' passent encore deux autres bisécantes de Cg et la surface 
formée par ces bisécantes passe doublement par a' , Pour éviter 
toute contradiction, nous devons supposer que les courbes 
Cl, C2 n'ont aucune bisécante commune (les points d'appui 
étant distincts). En utilisant un théorème classique de Halphen 
donnant le nombre de droites communes à deux congruences 
réglées, on trouve 
67r = (X,-2)(\-3), 
Tz étant le genre de la courbe Ci. 
