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Considérons les coniques passant par un point Pj de Cj, 
elles rencontrent encore Cj en un second point P2 qui peut 
être mobile ou fixe. 
Si le point est variable, nous avons une correspondance 
birationnelle entre les points de et les coniques de la con- 
gruence passant par P^. Le lieu de ces coniques est une sur- 
face algébrique sur laquelle elles forment un faisceau, car la 
congruence est linéaire. Ce faisceau a un point-base P^ et par 
conséquent, d'après un théorème de Lùroth, il est linéaire (*). 
Par suite 71 = 0. 
Si le point Pg est fixe, les coniques passant par Pj, P^ 
engendrent une surface II, d'ordre p + passant p fois par la 
droite Pi Pg et ayant des points multiples d'indice p + i en 
P^, Pj. Mais, d'après un théorème de M. Bertini (**), « si la 
surface générique d'un système linéaire a un point multiple 
d'indice t variable, le lieu de ce point est une variété-base 
multiple d'indice (—1 pour le système linéaire ». La sur- 
face n engendre un faisceau lorsque P^ varie sur Ci, car par 
tout point de l'espace passe une conique de la congruence 
déterminant deux points sur la courbe C^, l'un de ces points 
pourra être pris pour P^, l'autre pour P2, mais chaque 
arrangement donnera évidemment la même surface H. La 
droite P1P2 décrit une surface réglée qui ne peut faire partie 
de la base du faisceau des surfaces 11, donc p<i. Les sur- 
faces n passant par Cg, si l'on a p=-0, cette courbe serait de 
première espèce (commune à une infinité de quadriques), ce 
qui a été exclu par hypothèse. 
Lorsque p---i, les surfaces II sont du troisième ordre et 
passent par C^, donc Xi<5. Nous avons vu que 
67c = (Xi — 12) (kl — 3), donc pour = 5, tc - 1 , pour = 4, 
(*) Voir par exemple Castelnuovo et Enriques, Sopra alcune questioni 
fondamenlali nella teoria délie superficie algebriche. Chap II, § 6, observa- 
tion. (Annali di Matematica, 4901, 3^ sér., t. VJ, pp. 165-225.) 
(**) Bertini, Introduzione alla Geometria proiettiva degli iperspazi. 
Chap. X, no 8. Pisa, Spoerri, 1907. 
