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Supposons qu'il existe une irisécante a de C2 s'appuyant sur 
la conique Cj. Celte droite est multiple d'ordre >.2 — 5 pour 
chaque surface F, car elle forme une conique de la congruence 
avec une droite s'appuyant sur a, C^, C^. Or, le lieu de ces 
droites est une surface passant 2X3 — k — 0 fois par a, k étant 
le nombre de points communs à Ci,C^, Si l'on construit 
la. surface F relative à un point de a, on voit que 
2X2 — k — 5<X2 — 5, c'est-à-dire k^l^. Mais la courbe C2 
étant d'ordre a^, elle ne peut rencontrer le plan de Ci en plus 
de X2 points, donc k = \2 (dans l'hypothèse où C2 admet des 
trisécanles s'appuyant sur Ci). 
Considérons une droite d et un point P. Les plans passant 
par d marquent sur C2 les groupes d'un série linéaire , ceux 
qui passent par P marquent une série linéaire . D'après une 
formule de M. Schubert (*), le nombre de groupes de trois 
points communs à ces deux séries est égal à >2 ( ^ j — — 2) 
(>.2 + 71 — 1), u étant le genre de C2. Ces groupes sont les 
groupes marqués par les trisécanles de C2 s'appuyant sur d 
et les groupes de trois points situés dans le plan joignant d 
et P. On en conclut que le lieu des trisécanles de C2 est une 
surface d'ordre >2(^2 — 2) (^2—^) " (^—1). Cette 
surface passe (^^^^) ~ ^ois par C2, par conséquent, le 
nombre des trisécanles de C2 s'appuyant sur Ci est égal à 
i(>2-2) [4>| - (16 + 5^) >2 + 3(4 + 5fe)] _ ^(2/2-fc-4). 
Ce nombre doit être supérieur ou égal à zéro. S'il est supérieur 
à zéro, nous avons vu que l'on a k = lç^. On vérifie facilement 
que cela est impossible (pour /c = ).2» on trouve un nombre 
négatif). On doit donc avoir 
{\ — i2) [4)4 — (16 + 3fe)X, + 3(4 + 3fe)] = 671(2X2 — k — 4), 
{*) Une démonstration simple et élégante de la formule de M. Schubert 
a été donnée par M. Severi dans ses Lezioni di Geometria ALgebrica. 
Padova, Draghi, 1908, pp. 236 et suivantes. 
