( 65 ) 
Nous avons déjà vu (n° ^2) qu'il existe un faisceau de surfaces 
cubiques passant par la courbe Cg, d'ordre six et de genre 
deux, par la conique C| et par la quadrisécante a de Cj. Par 
un point P de l'espace passe une conique de la congruence a) 
et une surface cubique contenant ses courbes singulières; donc 
celte surface rencontre la conique en sept points et par suite la 
contient tout entière. Nous voyons ainsi que les coniques de 
la congruence a) se distribuent par faisceaux sur les surfaces 
cubiques d'un faisceau. Considérons une de ces surfaces. Les 
coniques de la congruence qu'elle contient sont dans les plans 
d'un faisceau dont l'axe appartient à la surface cubique et par 
suite s'appuie sur a et deux fois sur Cg. La surface-enveloppe 
de la congruence est donc le lieu des bisécantes de Cj 
s'appuyant sur a. C'est une surface cubique passant doublement 
par a. 
Passons à la congruence h). Par la conique C^ et par une 
courbe quelconque de la congruence passent une infinité de 
quadriques formant un faisceau. Les dix points de rencontre 
de Ci avec une quadrique de ce faisceau se répartissent en cinq 
points fixes sur C^, quatre points fixes sur la conique de la 
congruence choisie, et enfin un point mobile. Il en résulte que 
les points de la courbe C<2 peuvent être rapportés birationnelle- 
rnent aux quadriques d'un faisceau, ce qui est en contradiction 
avec l'hypothèse Tz = i. La congruence b) n'existe donc pas. 
Enfin, les surfaces F relatives à la congruence <■) sont du 
troisième ordre et forment un réseau. Les plans des coniques 
de cette congruence passent par un point fixe P situé sur la 
courbe C^ dans le plan de C4, mais en dehors de cette courbe. 
En effet, une droite d passant par P et située dans le plan de C4, 
forme, avec une trisécante de C02 s'appuyant sur rf, une conique 
de la congruence, et il existe une infinité de pareilles coniques 
dégénérées. La congruence c) est un cas particulier de la con- 
gruence du numéro 23. (La courbe d'ordre sept et de genre 
cinq dégénère en deux courbes C^, C^, l'une rationnelle, l'autre 
de genre deux, se coupant en quatre points.) 
5 
