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Si une congruence linéaire de coniques possède une conique 
bisingulière et une seconde quartisingulière d'ordre au moins égal 
à cinq, celle-ci est ; 
i° Une courbe d' ordre six, de genre deux, s' appuyant en six 
points sur la conique, et la congruence est de classe trois ; 
2° Une courbe d'ordre cinq, de genre deux, s'appuyant en 
quatre points sur la conique, et la congruence est de classe un. 
Ces congruences ont été signalées par MM. Pieri (*) et 
Montesano (**). 
30. ïl nous reste à examiner s'il peut exister une con- 
gruence linéaire formée par des coniques s'appuyant en quatre 
points sur une courbe d'ordre cinq et en deux points sur 
une courbe Q d'ordre trois ou quaire. 
Supposons d'abord que est du troisième ordre, et soit k le 
nombre de points communs à et Cj. 
S'il existe une trisécante a de s'appuyant sur C^, elle 
forme une conique de la congruence avec toute droite 
s'appuyant sur a, C|, C2. Par conséquent, la droite a est qua- 
druple pour chaque surface F; mais elle est multiple d'ordre 
12 — k pour la surface engendrée par les droites s'appuyant 
sur a, C^, C2, donc 12 — A; < 4, A; > 8. 
Les Irisécantes de C2 engendrent généralement une surface 
(sauf dans le cas où C2 a un point triple), et cette surface est 
d'ordre 8 — Stt, tz étant le genre de la courbe (n" 29) ; cette 
surface passe 3 — tc fois par Cq, car le cône qui projette C2 d'un 
de ses points est de genre t: et a donc 3 — tc droites doubles. 
La courbe C| ne peut se trouver sur la surface lieu des trisé- 
8 — Stt 
cantes de C2, donc A:<3 Les deux inégalités trouvées 
exigent 7t = 0, k =S, et ainsi, dans l'hypothèse où il y a des 
trisécantes de C2 s'appuyant sur C|, et où les trisécantes de 
forment une surface, on trouve que la courbe CJ rencontre 
(*) Sopra aie. congr... (Loc. cit.) 
(**) Siii varii tipi... (Loc. cit.) 
