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Dans les hypothèses a), c) (e = 5), d), la courhe Ci pourrait 
être plane et avoir par suite un point double en un de ses six 
points d'appui sur C^. Une conique de la congruence ne peut 
pas dégénérer en deux droites dont l'une soit dans le plan 
de Ci ; par suite, chaque surface F rencontre ce plan seulement 
en des points de et, dans les équations (1), (2) du numéro 26, 
on aura SnjV, 1 =^q^. Cela amène à l'équation 5qi -}-x = i, 
impossible en nombres entiers tels que > 1. Ci est donc 
toujours gauche. 
CoNGRUENCK o) Lcs courbcs Cl, Cg ont une bisécante com- 
commune a, triple pour les surfaces F. La courbe Cg se trouve 
sur 00^ surfaces cubiques formant un système linéaire (*), donc 
C), Cg et a forment la base d'un faisceau de surfaces cubiques. 
Toute conique de la congruence est sur une de ces surfaces et 
les coniques situées sur une même surface forment un faisceau, 
car autrement la congruence ne serait pas linéaire. On en 
conclut que l'enveloppe W des plans des coniques de la con- 
gruence est le lieu des droites s'appuyant sur Ci, Cg, a. C'est 
donc une surface du huitième ordre passant cinq fois par a, 
trois fois par C^ et une fois par Cg. 
Cherchons à évaluer g^, c'est-à-dire la multiplicité d'un 
point Q de C, pour la surface F, lieu des coniques dont les 
plans passent par un point P. g, sera égal au nombre de droites 
de la surface-enveloppe W s'appuyant sur la droite PQ, 
c'est-à-dire à cinq. De même, g^ = 7. Mais nous avons trouvé 
n, = 8 et de plus on a V| = 1. Il est maintenant facile de voir 
que l'égalité (2) 
2?iiVi + 1 = g, 4- 
du numéro (26) ne subsiste plus, de sorte que la congruence a) 
n'existe pas. 
Congruence 6) : Les courbes C,, Cg et la quadrisécanle a 
de C2 sont la base d'un faisceau de surfaces cubiques. Ln rai- 
(*) Stuyvaert, Cinq études .. (Loc. cit., pp. 38 et suiv.) 
