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Les solutions en nombres entiers et positifs des équations 
4-vï + 2vi + 1 = l(f' + ^> 
4q = + 1 
sont 
(I^Se + \, Vi = 4£-[-l, cr = e(£ — 2), 
e étant un entier positif. On a vj < 21 , d'où e < 5. 
Soient t la multiplicité de 0 pour C, n le genre de C, le 
nombre de droites issues de 0 s'appuyant encore deux fois 
sur C, k^y k^, k^ respectivement les nombres des points triples, 
quadruples et quintuples de C en dehors de 0. On doit avoir : 
^,(5 - 0^(4 - 0^ + W - 0^3 - ly + ^3(3 - 0^(2 - 0^ 
+ &4(â — 0^(1 — 0' = — 2), 
3^0 + 4A-3 -f nk, ^ 7, 4^3 + + ï ^ 7, 
(6 — 0 (o — /) = 271 4- + 6^-2 + ms + 20^4. 
Les solutions entières et positives de ces équations donnant 
£ < 5 sont : 
a) ki=k2^k^=k4^0, /=3, 7r=3, £=0, a-=0, Vi=l, q = i, 
b) k,=k2=k^=k,=0, t=% 71=6, £=2, (7=0, vi=9, q=l. 
Dans chacun de ces cas, la surface des trisécantes de la 
courbe C existe effectivement, et cette surface passe quatre fois 
dans le cas a), trois fois dans le cas b) par le point principal 0, 
ce qui est incompatible avec (7 = 0. Donc : 
Si une congruence linéaire de coniques admet un point principal 
et une courbe quartisinguliére^ celle-ci est : 
1** Une quar tique gauche de seconde espèce; 
2° Une quintique elliptique passant par le point principal ; 
3*^ Une quintique rationnelle dotée d'un point triple ; 
4" Une sextique de genre deux passant doublement par le point 
principal. 
